Distribucion t student

Distribucion Normal

Distribucion t-student

Distribución normal:

Distribucion de T student: 

Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba de t student  para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente. Se utiliza la siguiente formula:

Donde:

• Z es una variable aleatoria distribuida según una normal típica (de media nula y varianza 1).
• V es una variable aleatoria que sigue una distribucin X² con grados de libertad.
•  Z y V son independientes

Tabla de distribucion T student 

Todo lo que de debemos saber sobre distribución normal:

La Normal es la distribución de probabilidad más importante. Multitud de variables aleatorias continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal. Una de sus características más importantes es que casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones.

 La distribución de probabilidad normal y la curva normal que la representa, tienen las siguientes características:

• La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.

 • La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media.

• La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.

Campana de Gauss.

La distribucion normal estandar:

Cada una de las distribuciones puede tener una media (µ) o una desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de µ yσ. Para resolver este problema, se utiliza un solo “miembro” de la familia de distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es la que se conoce como distribución estándar normal, de forma que todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, restando la media de cada observación y dividiendo por la desviación estándar. Primero, convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar utilizando un valor llamado Z, o estadístico Z que será la distancia entre un valor seleccionado, designado X, y la media µ, dividida por la desviación estándar σ. 

Formalmente, si X ∼ N(µ,σ) , entonces la v.a. σ − µ = X Z se distribuye según una normal de media 0 y desviación estándar 1, i.e.: Z ∼ N(0,1) , que es la distribución llamada normal estándar o tipificada. De esta manera, un valor Z mide la distancia entre un valor especificado de X y la media aritmética, en las unidades de la desviación estándar. Al determinar el valor Z utilizando la expresión anterior, es posible encontrar el área de probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a la distribución normal estándar en las tablas correspondientes. Así pues, para averiguar el área anterior utilizaremos la tabla que encontraremos al final de este apartado. Dicha tabla nos proporciona la probabilidad de que la v.a. normal estándar Z tome un valor situado a la izquierda de un número.

Tabla de distribucion normal estandar:

Ejercicios propuestos sobre distribución normal

Ejercicios propuestos sobre distribución normal:

1) Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas a la izquierda de cada valor z de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas) siguientes 
 a) Pr(z<0'1052)
 b) Pr(z<-2) 
c) Pr(z≥2'1009) 
d) Pr(z>-0'1)
 e) Pr(0'31≤z≤2'084)
 f) Pr(-0'52'2)

2) Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas entre cada valor z y la media 0 de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas) siguientes:
 a) Pr(z≤2'32)
 b) Pr(z≤-0'38) 
c) Pr(z>2'2)
 d) Pr(z>-0'876) 
e) Pr(-3'02≤z≤0'499)
f) Pr(0'51≤z≤1'83)

3) Analizadas 240 determinaciones de colesterol en sangre, se observó que se distribuían normalmente con media 100 y desviación típica 20. a) Calcule la probabilidad de que una determinación sea inferior a 94. b) ¿ Qué proporción de determinaciones tienen valores comprendidos entre 105 y 130 ?. c) ¿ Cuántas determinaciones fueron superiores a 138 ?.  

Respuestas:

Respuesta nro 1:

a) 0'54380

b) 0'02275 

c) 0'01786

d) 0'53983

e) 0'35952 

f) 0'67223

Respuesta nro. 2:
a) 0'98983
b) 0'35197 
c) 0'01390 
d) 0'81075 
e) 0'69015 
f) 0'27141  

Respuesta nro. 3: 

a) 0'38209 

b) 32'053% 

c) 7 determinaciones